Algebra 1 und 2 [Lecture notes] by Burkhard Külshammer PDF

By Burkhard Külshammer

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H. abgeschlossen gegenüber der komplexen Konjugation. und i ∈ L gilt:4 (i) Ist z ∈ C Schnittpunkt von zwei verschiedenen Geraden G(L), so ist z ∈ L. (ii) Ist z ∈ C Schnittpunkt einer Gerade in G(L) und eines Kreises in in K(L), so ist z ∈ L(w) für ein w ∈ C mit w2 ∈ L. (iii) Ist z ∈ C Schnittpunkt von zwei verschiedenen Kreisen in K(L), so ist z ∈ L(w) für ein w ∈ C mit w2 ∈ L. B EWEIS : (i) Seien a, b, c, d ∈ L mit (a + Rb) ∩ (c + Rd) = {z}, d. h. a + λb = z = c + µd für geeignete λ, µ ∈ R. Dann ist (λ, µ) die einzige Lösung des linearen Gleichungssystems: λ (b) − µ (d) = (c − a) und (λ, µ) liegt in L × L.

Offenbar ist f auch K-linear. 3 Sei L | K eine Körpererweiterung und n := [L : K] < ∞. Dann ist L | K algebraisch. Denn für b ∈ L können die n + 1 Elemente 1, b, b2 , . . , bn nicht linear unabhängig sein. Folglich existieren Elemente a0 , a1 , . . , an ∈ K, die nicht alle gleich 0 sind, mit a0 + a1 b + · · · + an bn = 0. Also setzen ϕ := a0 + a1 X + · · · + an Xn ∈ K[X] \ {0} mit ϕ(b) = 0, d. h. b algebraisch über K. Ist also E ein endlicher Körper und F ⊆ E Teilkörper, dann ist E | F algebraisch.

Bn ) | K algebraisch. (ii) Für jede weitere Körpererweiterung M | L gilt: M | K algebraisch ⇔ M | L, L | K algebraisch (Transitivität) (iii) F := { b ∈ L | b algebraisch über K } ist ein Teilkörper von L mit K ⊆ F ⊆ L. Dieser heißt algebraischer Abschluss von K in L. B EWEIS : (i) Seien b1 , . . , bn algebraisch über K. 2 ist [K(b1 ) : K] < ∞. Offenbar ist b2 auch algebraisch über K(b1 )4 . 3) liefert [K(b1 , b2 ) : K] < ∞. Induktiv folgt dann, dass die Körpererweiterung [K(b1 , . . , bn ) : K] < ∞ ist.

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